|
Большинство из нас считает, что компьютер является эталоном точности и непогрешимости. Еще бы, он способен провести вычисления по любой формуле и выдать результат с таким количеством знаков после запятой, что невольно задаешься вопросом: «Зачем столько? Кому может понадобиться такая точность? Наверное, только ученым-исследователям, рассчитывающим ядерные реакции или модель Вселенной. Мне-то она точно ни к чему!». Не спешите, возможно, что задача, которая не по зубам вашему компьютеру, рядом и вовсе не сложна на первый взгляд.
Давайте обратимся к биологии. Эта наука давно уже тесно сотрудничает с математикой, используя ее возможности для ответов на свои биологические вопросы. Вот, например, возьмем пару кроликов, естественно разнополых, и пустим их в большой загон. Запасы еды неограниченны, хищников нет. Сколько кроликов будет в загоне через месяц, год, десять лет? Если кролики вас мало интересуют, то можно рассмотреть вместо кроликов людей, а вместо загона – Землю. Своя рубашка ближе к телу?
Что будет с человечеством в будущем? Будет ли население Земли увеличиваться или уменьшаться? Этими вопросами ученые озаботились еще в восемнадцатом веке. В 1798 году Томас Роберт Мальтус, английский демограф и экономист, в своем трактате «О законе роста народонаселения» сделал вывод, что численность популяции растет по экспоненте, то есть в геометрической прогрессии. Будущее безоблачно? Как бы не так! Человеку нужно есть, пить, где-то жить, одним словом, потреблять ресурсы. А они вовсе не безграничны. Производство ресурсов растет со временем линейно, в арифметической прогрессии.
Все мы еще со школьной скамьи помним, что геометрическая прогрессия растет значительно быстрее, чем арифметическая. Мальтус тоже это знал, и сделал вывод, что рано или поздно экспонента обгонит линейную функцию. На Земле наступит голод, который приведет к уменьшению численности населения. На основании этого Мальтус предложил ввести ограничения на рождаемость, особенно для беднейших слоев общества. С выводами Мальтуса согласился и Чарльз Дарвин. В своем дневнике он указывал, что ни одна популяция не может размножаться до бесконечности, поскольку существуют факторы, препятствующие такому неограниченному размножению. В результате – замедление скорости роста популяции и выход ее численности на стационарный уровень.
Впервые с математической точки зрения факторы, ограничивающий рост популяции, описал Ферхюльст в своем знаменитом уравнении логистического роста. В первом приближении его можно записать в виде:
Х = С * Х * (1 - Х),
где Х – численность популяции в долях от максимально возможной при данных условиях, С – фактор роста, который определяет, сколько потомства дает, в среднем, одна пара особей. Это рекурсивная формула, в которой каждое последующее значение ряда зависит от предыдущего.
Несмотря на крайнюю простоту, логистическая модель оказалась весьма хорошим приближением для описания численности многих популяций. Действительно, если фактор роста меньше единицы, то популяция очень быстро погибает, несмотря на большую исходную численность. При факторах роста больше единицы численность популяции не возрастает неограниченно, а стабилизируется на определенном уровне. Чем больше фактор роста, тем больше стабильная численность популяции. Однако неограниченно возрастать фактор роста тоже не может. Если он превышает некоторое критическое значение, то популяция очень быстро погибает из-за нехватки ресурсов.
Еще более интересны модели с наименьшей критической численностью. Именно они отражают рост популяций, в основе размножения которых лежит скрещивание, предполагающее встречи между особями разных полов. К сожалению, понимание таких моделей уже требует основательного знания математики, поэтому мы ограничимся только их словесным описанием.
При низкой плотности популяции, то есть отношении численности популяции к занимаемой территории, скорость размножения резко падает, так как вероятность встречи двух особей разных полов уменьшается. В действительности эта плотность не должна опускаться ниже определенной критической величины. Если это произойдет, то среднее время, в течение которого может состояться оплодотворение, становится больше времени жизни отдельной особи. Популяция вымирает.
|
